Matematik: Tek mi Çift mi, Deste - Düzine, Toplama Çıkarma Hepsi Bir Arada

Bu yazımızda, daha önceki yazılarımızın bir devamı niteliğinde olarak, önce tek-çift kavramını öğreteceğiz, sonra 0-10 arasında olan sayı dünyamızı 0-12'ye genişleterek deste ve düzine kavramlarını öğreteceğiz. Daha sonrasında da toplama ve çıkarma işlemlerini tek seferde yapmayı öğreteceğiz. Çocuğunuzun yaşına bağlı olarak, toplama ve çıkarma işlemlerini tek seferde yapma kısmını daha sonraya da bırakabilirsiniz. Ama ileride 4 işlemi öğrendiğinde, işlem sırasını kavrayabilmesi için, bu aşamanın anlatılmasını önemli görüyorum. Bu yazıya başlamadan önce, bir önceki yazıda verdiğim toplama ve çıkarma örneklerine ilave olarak, ileriye doğru adım atma ve geriye doğru adım atma şeklinde de ileriye doğru yürürken toplama, geriye doğru yürürken çıkarma işlemlerini de yaptırabileceğinizi hatırlatmak isterim. Şimdi, tek-çift kavramlarıyla devam edelim.

Tek mi Çift mi?

Şimdi, kullandığımız malzemeden (örneğin sayma çubuğu) 10 tane alarak, çocuğumuza tek-çift kavramlarını öğretmek için gerekli hazırlığı yapmış oluyoruz. "Bazen, iki kişinin birlikte oynaması, ya da birlikte çalışması gerekebilir. Bazen de, kalabalık oynanan bazı oyunlarda veya takım sporlarında maçlar ya da yarışmalar iki ayrı gruba ayrılarak oynanır. Her iki takımın da birbirine eşit sayıda kişiden oluşması gereken bu gibi durumlarda, çift sayıda insana ihtiyaç duyulur. Eğer bir grup insan, ikişerli gruplara ayrıldığında 1 kişi açıkta kalıyorsa, ya da yine bir grup insan, iki ayrı takıma ayrıldığında, takımlardan birinde 1 kişi fazla kalıyorsa ve o kişi bu yüzden oyun dışında kalıyorsa, bu durumda o grupta tek sayıda insan var demektir. Eğer kimse oyun dışında kalmıyorsa, çift sayıda insan var demektir. Şimdi böyle anlatınca karışık geldiğini biliyorum. Hadi şimdi çubuklarla göstereyim sana... Sayalım şimdi kaç çubuk var burada?" dedikten sonra 10 çubuğu birlikte sayıyoruz. Sonra, "bu çubukları hadi şimdi ikişer ikişer gruplayalım", dedikten sonra, iki taneyi birleştirip bir grup, sonraki iki taneyi birleştirip ikinci grubu yapıyoruz. Böyle böyle 5 grubu tamamladıktan sonra, diyoruz ki, "ikişer ikişer grupladık ve gördük ki, hiç bir çubuk açıkta kalmadı. Demek ki 10, çift sayıymış." diyoruz. "Bunu başka türlü nasıl anlayabilirdik? Her çubuk 1 kişiyi temsil etsin. Şimdi 10 kişiden 2 ayrı takım kurmaya çalışalım." diyerek, tekrar 10 çubuğu elimize alıyoruz. "Sırayla, bir çubuk sağa, bir çubuk sola koyalım" dedikten sonra, bir çubuk sağa, bir çubuk sola koymaya devam ediyoruz. Çubuklar bitince, "Şimdi ben sağdaki çubukları sayayım, 1-2-3-4-5. Sen de soldaki çubukları say bakalım." diyoruz. O da saymayı bitirince, "Bak gördün mü, benim saydığım takımda da 5 kişi oldu, senin saydığın takımda da 5 kişi var. Yani birbirine eşit sayıda var. Demek ki, 10 kişiden 5'er kişilik iki ayrı takım kurulabiliyormuş. Bu da demektir ki, 10 çift sayıdır."

Başka hangi sayılar çifttir? Bunu görmek için, "her iki gruptan da 1'er kişiyi çıkarırsak, sağda 4, solda da 4 kişi kalır, değil mi? Yani, 10 kişiden 2 kişi çıkardık. Kaç kişi kaldı? 8 kişi kaldı, değil mi? O zaman 8 de çifttir. Diğer çift sayıları da sen bul." Diyerek, 6, 4, 2'nin de çift sayı olduğunu öğretmiş oluruz. Benzer şekilde, "8'i 2'şer 2'şer gruplara ayıralım, bakalım kaç gruba ayıracağız?" deyip 4 tane 2'şerli gruplara ayrıldığını gösterebiliriz.

"Peki, 10 hatırlarsan çift sayıydı. 10'dan 1 çıkarırsak, kaç kalır? 9 değil mi? 9 çift sayı değildir, çünkü bak, sağdaki grupta 5 çubuk, soldaki grupta 4 çubuk var. Birbirine eşit değil. 9 kişiyle takım oyunu oynarsak, 1 kişi oyun dışında kalır. Yani 8 kişi oyunu oynar, kalan 1 kişi oynayamaz. İstersek kalan 1 kişiyi hakem yapabiliriz, ne dersin?" diyerek, "Tek sayılar, bizim 1 hakemli oyunumuz olsun, çift sayılar da hakemsiz oyunumuz olsun, tamam mı?" diye açıklama yapabiliriz. "Hakem kimdir? Oyunda eğer iki takımdan hangisinin galip geldiğiyle ilgili tartışma çıkarsa, hakem tarafsız olarak oyunun baştan kararlaştırılmış kurallarına uygun olarak kimin galip geldiğine karar veren kişidir. Ayrıca takımlardan biri kural ihlali yani hile yaptığında bunu tespit ederek oyunun kurallara uygun bir şekilde oynanmasını sağlayan kişidir" diye açıklama yapabiliriz.

Böylece, sırasıyla 9, 7, 5, 3 ve 1'in tek sayılar olduğunu teker teker gördükten sonra, hepsini yeniden gözden geçiririz:

"1: tek, 2: çift, 3: tek, 4: çift, 5: tek, 6: çift, 7: tek, 8: çift, 9: tek, 10: çift. Gördün mü, sayılar bir tek, bir çift, bir tek, bir çift şeklinde devam ediyor." diye de açıklama yaparız. "Öyleyse, 0 (sıfır) sayısı, tek midir, çift midir? 0 (sıfır), elimde hiç yok demekti, değil mi? Sıfır, birden de küçüktür. 1 tek olduğuna göre, 0 (sıfır) çifttir. Şöyle de düşünebiliriz: 10 (on) sayısının en sağında sıfır (0) yazıyor değil mi? 10 çift olduğuna göre, sağında yazan 0 (sıfır) da çifttir. Matematikçiler, bu nedenle sıfır (0)'ın çift olduğunu kabul ederler."

11 ve 12 Sayıları, Deste ve Düzine

"Şimdiye kadar sana 1'den 10'a kadar sayıları öğretmiştim. Şimdi iki tane sayı daha öğreteceğim. 10 (on)'dan sonra 11 (on bir) gelir, 11 (on bir)'den sonra da 12 (on iki) gelir. Nasıl ki bir, iki, üç diye saymaya başlamıştık, bundan sonra da başına on sayısını ekleyerek on bir, on iki diye on dokuza kadar devam ediyoruz. Ama şimdilik 12 (on iki)'de duralım. Çünkü sana 12'ye kadar yeni bazı konuları anlatmak istiyorum."  diyerek, konuya giriş yapabiliriz.

"Ama yeni konuya geçmeden önce, 10 çift bir sayıydı, 11 (on bir), tek midir, çift midir? 11 ile hakemli bir oyun oynayabiliriz, o halde tek sayıdır. 12 (on iki), tek midir, çift midir bir bakalım. 6 çubuk sağda, 6 çubuk solda, hakemsiz bir oyun oynanabilir, o halde 12 çift bir sayıdır." diye açıklama yapabiliriz.

10 (on) sayısına, aynı zamanda, "1 deste" de denilebilir. Yani, birisi size derse ki, "Arkadaşıma bir deste papatya verdim." bu demektir ki, arkadaşına 10 tane papatya vermiş. İleride, daha büyük sayıları öğrenirken, destelerden de yararlanacağız. İki deste, üç deste ne demek, bunları öğreneceğiz. 

12 (on iki) sayısına, aynı zamanda "1 düzine" de denilebilir. Yani, birisi size derse ki "Arkadaşıma bir düzine papatya verdim." bu demektir ki, arkadaşına 12 tane papatya vermiş. İleride, çarpma ve bölme işlemlerini öğrenirken de bu 12 sayısından yararlanacağız. Ayrıca saatte 12 (on iki)'ye kadar sayılar vardır. Saati okumayı öğrenirken de, on iki sayısının ne kadar önemli olduğunu göreceğiz.

Bundan sonra, büyük miktarlarda (100'den az olmak kaydıyla) rastgele sayıda sayma çubuğu alarak, "Şimdi elimizde bir sürü sayma çubuğu var, kaç tane olduğunu ben de bilmiyorum. Hadi bakalım bunlardan desteler oluşturalım, kaç tane deste yapabileceğiz" deyip, "Bir destede kaç tane çubuk olacak, 10 tane değil mi? önce 10 taneyi buraya koyalım." diyerek beraber 10 taneyi sayalım. "Böylece 1 deste yaptık, ama hala elimizde bir sürü çubuk var, geri kalanlardan bir deste daha yapıp, şuraya koyalım."  diyerek ilk desteden biraz uzak bir yere yine 10 taneyi sayarak koyalım. Diyelim ki elimizde rastgele 56 tane sayma çubuğu varmış. Böyle böyle 5 kere aynı işlemi yapmış olduk. Elimizde 6 çubuk kaldı diyelim. "Elimizde az miktarda çubuk kaldı, bakalım 10 tane daha çıkacak mı, hadi sayalım" diyelim. 1-2-3-4-5-6 bitti, demek ki bu son gruptan deste yapamadık. Önceki destelerin sayısına bakalım, kaç tane deste yapmışız, yani kaç tane grup yapmışız, bir sayalım. 1 tane destemiz burada, 2-3-4-5. Demek ki elimizdeki çubuklardan 5 tam deste çıkmış. Geriye de 6 tane çubuk kalmış. Tane dediğimizde 1'er 1'er saymış olduk, deste dediğimizde 10'ar 10'ar grupların her birini sayarak kaç deste olduğunu bulmuş olduk. 5 deste dediğimiz zaman, 5 tane 10'luk grup varmış, bunu görmüş olduk. 5 tane mi daha çok, 5 deste mi daha çok, tabii ki 5 deste daha çok, değil mi?" 

"Şimdi aynı çubuklarla, düzine yapmaya çalışalım. Bir deste 10 taneydi, ama bir düzine 12 tane, değil mi? En baştaki desteye gelelim, elimizde kalan 6 çubuktan 2 tanesini birinci gruba ekleyelim, 11-12, burası 1 düzine oldu. Elimizde kaç çubuk kaldı? 4 çubuk kaldı, değil mi? Şimdi diğer desteye 2 çubuk daha ekleyelim, 11-12. Şimdi burası da başka bir düzine oldu. Şimdiye kadar 2 düzine yaptık. Şimdi öteki desteye gidelim. Elimizde 2 çubuk kalmıştı. Bu çubukları da bu düzineye ekleyelim. 11-12. Burası da bir düzine oldu. 3 düzine yaptık. Şimdi üç düzine, iki de destemiz var, değil mi? Destelerden birini elimize alalım. Şimdi bu desteyi bozalım. İki tane çubuğu, diğer desteye ekleyelim, 11-12. Burası da bir başka düzine oldu. Böylece, 4 tane düzine yapmış olduk. Elimizde kaç çubuk kaldı? 8 çubuk kaldı. Bak, aynı çubuklarla, daha önce 5 tam deste yapmıştık, şimdi 4 tam düzine yaptık. 5 tam deste yapınca, elimizde 6 çubuk kalmıştı, şimdi 4 tam düzine yapınca, elimizde 8 çubuk kaldı, değil mi? Demek ki bu çubuklarla ya 5 tam deste, ya da 4 tam düzine yapılabiliyormuş, gerisi de fazladan elimizde kalıyormuş." diye bir oyun oynayabiliriz.

Farkındaysanız, henüz büyük sayıları öğretmiyoruz, sadece gruplamayı ve grupları saymayı öğretiyoruz. Bu konuda çocuğumuzun önceki konulara göre ilave kazanımları:

1) Tek ve çift kavramını öğrenmek, 0-12 arasındaki sayıların hangisinin tek, hangisinin çift olduğunu bulabilmek.

2) Deste ve düzine kavramlarını açıklayabilmek.

3) 100'e kadar nesneleri, destelere ayırıp kaç tam deste olduğunu bulabilmek.

4) 100'e kadar nesneleri, düzinelere ayırıp kaç tam düzine olduğunu bulabilmek.

5) Gruplama ve gruplara ayırma kavramını anlayabilmek, gruplandırabilmek ve grup adedini sayabilmek. Bu konuda gruplamaları sadece deste ve düzine üzerinden yapabiliyoruz. Ayrıca ikişerli gruplamayı da öğrenmiş oluyoruz.

6) Toplama ve çıkarma işlemleri dışında çarpma ve bölme adında işlemlerin de olduğunu fark etmek. 

7) Saatte 1'den 12'ye kadar sayılar olduğunu ve saati okurken bu sayıların kullanılacağını fark etmek.

Farkındaysanız, henüz 0-12 arasında geziniyoruz ve büyük sayıları oluşturmanın sistematiğini öğretmedik. Buna karşılık 0-12 arasında sayma, büyük-küçük kavramları, ileriye-geriye gitme, toplama-çıkarma, tek-çift, deste-düzine, eşit sayılarda nesnelerden oluşan gruplara ayırma ve grupları sayma (kaç deste, kaç düzine) gibi işlemler yaptırdık sadece... Ve bunları oyunlarla pekiştiriyoruz. Eğer çocuğumuz henüz okuma-yazma bilmiyorsa, sesli ve görsel olarak öğretiyoruz. Bir sonraki aşamada, sayıların yazılışlarını da görsel olarak okumayı öğretip, ayrıca ince motor becerilerini geliştirmek için, eline kalemi alarak sayıları yazmayı da öğretebiliriz.

Bu arada, unutmadan, çocuğunuz 11 ve 12 sayılarını da öğrendiğine göre, önceki toplama işlemlerine ilave olarak 10+1, 1+10, 9+2, 2+9, 8+3, 3+8, 7+4, 4+7, 6+5, 5+6, 11+1, 1+11, 10+2, 2+10, 9+3, 3+9, 8+4, 4+8, 7+5, 5+7, 6+6 işlemlerini de çubuklarla oynayarak öğretebilirsiniz. Benzer şekilde, çıkarma işlemlerinde de 11'den ve 12'den belli miktarda sayıları çıkarmasını öğretebilirsiniz.

Ayrıca, daha önce 1-10 arasında oynadığınız "in-çık" oyununu 1-12 arasında oynayabilirsiniz.

Toplama Çıkarma Bir Arada

Şimdi sırada, 1-12 arasında toplama-çıkarma işlemlerini bir arada yaptırmaya geldi.

Bu kısmı, "Önce çalışarak 5 Lira kazandım, sonra çalışarak 3 Lira daha kazandım, sonra 4 Liraya bir oyuncak aldım. Sonra, karnım acıktı ve 2 Liraya bir tabak yemek satın alıp karnımı doyurdum. Şimdi birlikte, elimde kaç Lira kaldığına bakalım." diye sorarak yaptırabiliriz. "Önce kazandıklarımızın toplamına bakalım. 5+3=8 Lira kazanmışım. Sonra, 4 Lira harcadığıma göre, param azalmış olmalı. Demek ki çıkarma işlemi yapacağım. deyip, 8-4=4 Lira. Elimde 4 Lira kalmış oldu. Yani, önce param yoktu, çalıştım, 5 Liram oldu, harcama yapmadığım için bu 5 Lirayı biriktirmiş oldum. Sonra biraz daha çalıştım ve 3 Lira daha kazandım. Böylece, elimde 8 Lira olmuş oldu. Sonra, 4 Lirayı oyuncakçıya verip oyuncak satın aldım. Böylece, elimde artık 4 Lira ve bir oyuncak var. Daha önce 8 Liram vardı, ama oyuncağım yoktu. Şimdi 4 Liram kaldı ve bir oyuncağım oldu. Sonra karnım acıktı, 2 Lira daha verdim, demek ki param biraz daha azaldı. Elimde 4 Lira ve bir oyuncak vardı, elimdeki 4 Liradan 2 Lirayı çıkarırsam, 4-2 = 2 Liram kalmış oldu. Böylece, elimde 2 Liraya ilave bir oyuncak var ve artık karnım tok." diye açıklama yapabiliriz.

İşlemlerin tamamını gösterecek olursak: 5+3-4-2=2 Lira diye gösterebiliriz. "Baştaki 8 Lira yerine artık elimde 2 Lira kaldı, ama karşılığında 1 oyuncak ve 1 tabak yemek almış olduk." diye açıklama yapabiliriz.

Aynı işlemi, şöyle de sorabiliriz: "Önce çalışarak 5 Lira kazandım, sonra karnım acıktı ve 2 Liraya bir tabak yemek aldım. Sonra biraz daha çalıştım ve 3 Lira daha kazandım, sonra da 4 Liraya bir oyuncak aldım. Şimdi birlikte, elimde kaç Lira kaldığına bakalım." Şimdi sırasıyla ne olduğuna bakalım: "Önce 5 Lira kazandıktan sonra 2 Lira verip karşılığında yemek aldığıma göre, param azalmış olmalı. Demek ki çıkarma işlemi yapacağız: yemek yedikten sonra elimde, 5-2=3 Liram kaldı. Sonra biraz daha çalışıp 3 Lira daha kazandım. Kazandığıma göre, param artmış olmalı. Böylece, 3+3=6 Liram oldu. Sonra 4 Liraya oyuncak aldığıma göre, param azalmış olmalı. Demek ki çıkarma işlemi yapacağız. 6-4=2 Liram kaldı. Böylece, elimde 2 Liraya ilave hem karnımı doyurmuş, hem de bir oyuncak almış oldum." diye açıklama yapabiliriz.

İşlemlerin tamamını gösterecek olursak: 5-2+3-4=2 Lira diye gösterebiliriz. "Baştaki 5 Lira yerine artık elimde 2 Lira kaldı, ama karşılığında 1 tabak yemek almış, çalışarak biraz daha para kazanmış ve 1 oyuncak almış olduk." diye açıklama yapabiliriz.

Her iki problemde de, "toplam kaç Lira kazandık? 5+3=8 Lira kazandık. Toplam kaç Lira harcadık? 4+2=6 Lira harcadık." diye açıklama yapabiliriz.

Benzer problemi, "Önce 5 adım ileri gidelim. Sonra 4 adım geriye gidelim. Sonra 3 adım ileriye gidelim, sonra da 2 adım geriye gidelim. Başlangıçtaki noktamıza göre kaç adım ileride oluruz?" diye de sorabiliriz. Bunu "Kızma Birader" benzeri bir oyun tahtası üzerinde de gösterebiliriz. 5-4=1 adım ilerideyiz. 1+3=4 adım ilerideyiz. 4-2=2 adım ilerideyiz. 5-4+3-2=2 adım." şeklinde de yaptırabiliriz.

1-12 arasındaki sayıların dışına çıkmamak kaydıyla, toplama ve çıkarmayı değişik sayılarla bu şekilde yaptırabiliriz.

Böylece sekizinci ve dokuzuncu kazanımlar olarak:

8) Aynı problem içerisinde birden fazla toplama ve çıkarma işlemini karışık olarak yapabilmek

9) Toplumsal düzende paranın bir değiş-tokuş aracı olduğunu kavrayabilmek

sayılabilir.

Bundan sonra 1-12 arasındaki sayılarla çarpma ve bölme işlemlerini öğreteceğiz.

Matematik: 1'den 10'a Kadar Sayılarla Toplama ve Çıkarma

Bir önceki yazımda, 1'den 10'a kadar sayıları nasıl öğretebileceğimizi anlatmıştım. Şimdi, çocuğumuzun 1'den 10'a kadar bir sayılar dünyası var. Bu sayılarla neler yapabileceğimizi göstermenin zamanıdır. Sayılar dünyasını büyütmeden, toplama ve çıkarma kavramlarını öğreteceğiz. Kısaca "al takke ver külah" oynayacağız aslında. 🙂

Bunun için örneğin 10 tane sayma çubuğu kullanabiliriz. 10 tane olan herhangi bir zararsız cisim de kullanabilirsiniz. Önce çocuğumuza, çubuklardan 3 tanesini sayarak almasını söyleyebiliriz. Sonra biz de sayarak 2 tanesini alalım. Çocuğumuz sayarak aldı: bir, iki, üç. Biz de sayarak aldık: bir ve iki. Sonra, biz ona deriz ki, sende üç çubuk var, bende de iki çubuk, değil mi? Şimdi ben elimdeki iki çubuğu sana verirsem, senin elinde kaç çubuk olur? Gel beraber sayalım. 3 çubuk var zaten. 3'ten sonra kaç geliyordu, 4, deyip birinci çubuğu çocuğa veririz. Peki, 4'ten sonra kaç gelir? 5. Şimdi kaç çubuk oldu? 5. Demek ki, 3 çubuğun varsa, 2 çubuk daha alırsan, 5 çubuğun olurmuş. Biz şimdi, 3 ile 2'yi toplayıp, 5'i bulmuş olduk. Yani, üç, iki daha ne eder? 5 eder.

Bunun gibi, 1+1, 2+1, 3+1, 4+1, 5+1, 6+1, 7+1, 8+1, 9+1, 1+2, 2+2, 3+2, 4+2, 5+2, 6+2, 7+2, 8+2, 1+3, 2+3, 3+3, 4+3, 5+3, 6+3, 7+3, 1+4, 2+4, 3+4, 4+4, 5+4, 6+4, 1+5, 2+5, 3+5, 4+5, 5+5, 1+6, 2+6, 3+6, 4+6, 1+7, 2+7, 3+7, 1+8, 2+8, 1+9 işlemlerini burada yazdığım sırada değil ama, karışık bir şekilde yaptırabiliriz.

Bu arada, "diyelim ki sende 7 çubuk var, bende ise hiç çubuk yok. Hiç'in anlamını hatırladın mı, matematikte hiç için hangi sayıyı kullanıyorduk? 0 (sıfır). Şimdi, ikimizin elindeki çubukların toplamı kaç eder? Bende çubuk olmadığı için sendeki kadar, yani 7 çubuk eder. Peki, bende hiç çubuk yok, sen bütün çubuklarını bana verirsen, benim elimde kaç çubuk olur? Sendeki bütün çubuklar bana geçtiği için 7 çubuk olur. Demek ki, bir sayıyı 0 ile toplarsak, o sayının kendisini elde ederiz. Yine 0'ı bir sayıyla toplarsak, yine o sayıyı elde ederiz." gibi şeyler söyleyerek, 0'ın toplamada etkisiz eleman olduğunu göstermiş oluruz.

Şimdi, bende 7 çubuk var. Benden 4 çubuk al bakalım. Şimdi sende 4 çubuk oldu, bende kaç çubuk kaldı? Sayalım mı? Bir, iki, üç çubuk kaldı. İster sen elindeki bütün çubukları bana ver, ister ben elimdeki bütün çubukları sana vereyim, her iki durumda da birimizin elinde 7 çubuk olur, diğerimizin elinde 0 çubuk kalmış olur. Demek ki, 3'ün üstüne 4 saysak veya 4'ün üstüne 3 saysak, her ikisinde de toplamda 7 çubuğu elde etmiş oluruz. İki sayıyı birbiriyle toplarsak, hangisini önce alıp diğerini üstüne sayarsak sayalım, sonuçta, yani toplamda aynı sayıyı elde ederiz.

Şimdi seninle aynı anda farklı sayılar sayacağız, sen eline 7 çubuğu alacaksın, sen bana 1 çubuk verirken geriye doğru sayacaksın. Ben de 1'den başlayıp ileriye doğru sayacağım. Geriye doğru saymayı hatırladın mı? 7'den geriye sayarken ne geliyordu? 6. Şimdi senin elinde 6, bende 1 çubuk var. Bir daha geriye sayalım mı? 5. Şimdi senin elinde 5, bende 2 çubuk var. Başlangıçta senin elinde 7 çubuk vardı. 2 çubuğu bana verdin, 5 çubuğun kaldı. İşte buna çıkarma işlemi denir. Sen şimdi "7'den 2 çıktı, 5 kaldı" işlemini yapmış oldun. İstersen sende kalan çubukları emin olmak için sayalım mı? Bir, iki, üç, dört, beş. Çıkarma işlemi, toplama işleminin tersidir. 7'den 2 çıkarsa, 5 kalır. 7'den 5 çıkarsa da 2 kalır. Çünkü hatırladın mı, 5+2 de 7 eder, 2+5 de 7 eder.

Benzer şekilde çubuklarla 2-1, 3-1, 3-2, 4-1, 4-2, 4-3, 5-1, 5-2, 5-3, 5-4, 6-1, 6-2, 6-3, 6-4, 6-5, 7-1, 7-2, 7-3, 7-4, 7-5, 7-6, 8-1, 8-2, 8-3, 8-4, 8-5, 8-6, 8-7, 9-1, 9-2, 9-3, 9-4, 9-5, 9-6, 9-7, 9-8, 10-1, 10-2, 10-3, 10-4, 10-5, 10-6, 10-7, 10-8, 10-9 işlemlerini de yaptırırız.

Bir sayıdan, kendisini çıkarırsak, yani, bütün çubukları sana verdim sende 10 çubuk var, hepsini senden geri alsam, yani 10'dan 10 çubuk azaltırsam, senin elinde hiç çubuk kalmaz, değil mi? Demek ki bir sayıdan kendisini çıkarırsak, geriye 0 (sıfır) yani "hiç" kalır. "Elimde hiç kalmadı" demektir sıfır, hatırladın mı? Öyleyse, 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, 6-6, 7-7, 8-8, 9-9 hep 0 kalır.

Bu arada, buraya yazdıklarımın hepsini bu şekilde anlatmak zorunda değilsiniz. Bunları ipucu olarak kullanıp, yaratıcılığınızı kullanın. Zaten aman ha, hepsini bir seferde anlatmayın. Daha önceki yazımda dediğim gibi, adım adım gidin, tekrar ettirin, öğrendikçe bir sonrasına geçin. Karşılıklı konuşurken, her şey doğal gelişecektir. Çocuğunuz anlamayabilir. Üstelemeyin. Erteleme ve ara verme hakkınız bâki. Sonuçta matematik sapığı değilsiniz. 🙂 Anlatmanın başka yollarını da deneyebilirsiniz. Aşağıdaki uygulamalar (oyunlar) çocuğunuzun öğrenmesine yardımcı olacaktır. Başka uygulamaları da araştırabilirsiniz, ben bunları buldum (Google Player'dan):

Sayıları Öğren

İşlemleri Öğren

Okul Öncesi Eğitici

Bu arada, farkındayım, çocuklara anlatmak bu sayfaya yazmak kadar kolay değil. Burada bir sayfada yazdıklarımı, belki 3 ayda, belki 5 ayda, belki 1-2 yılda öğreteceksiniz. Bilmiyorum, belki de videolarla, TV programlarıyla ve uygulamalarla öğretmek daha kolay ve hızlı olur. Ama karşılıklı konuşarak da anlatmak lazım ki, ezberlemesin, mantığını öğrensin. Durduk yere laf olsun diye toplayıp çıkarmıyoruz, bir bildiğimiz var herhalde, değil mi? 🙂

Çubuklarla ya da nesnelerle anlattığınızı, parmaklarla da, geçen yazıda söylediğim abaküsle de anlatmayı ihmal etmeyin tabii... Bir şeyler artarken toplama, azalırken de çıkarma işlemi yapıldığını anlamış olsun. Bir süre sayılar 1-10 arasında kalmaya devam etsin. Az ezber, çok mantık. Prensibimiz bu olsun.

Bu arada, geçen yazımızda anlattığımız oyunu oynamaya devam edin. Hani şu 1'den 10'a kadar sayılardan birini tutup, sonrasında "in" ya da "çık" diyerek bulmasını sağladığınız oyunu.

İyi bir temel matematikçi, sayılarla "kedinin fareyle oynadığı gibi" oynayabilmelidir, ne demiştik, "al takke ver külah oyunu". Zorlamıyoruz, ancak pes de etmiyoruz. Oyunlarla, bilmecelerle, şiirlerle destekliyoruz. Alttaki şiiri ben beğendim mesela:

Şiirle Sayılar

Buraya kadar çocuğumuzun kazanımları (parmakları kullanmak serbest):

1. 0-10 arası sayıları öğrenmek (sesli ve görsel olarak öğrenmesi yeterli, kendisi yazamasa da olur.)
2. 1'den 10'a, 10'dan 1'e ileri ve geriye doğru birer birer sayabilmek (buna "ritmik" sayma da diyorlar şimdi) (sesli ve önceden hazırlayıp karıştırdığınız kartlarla da görsel olarak sıraya dizebilir, dedim ya, yaratıcılığınızı kullanın.)
3. 1 ile 10 arasındaki rastgele bir sayıyı gösterdiğinizde tanıyabilmek.
4. in-çık oyunu sayesinde 1-10 arasındaki herhangi iki sayıdan hangisinin daha büyük olduğunu öğrenmek.
5. Sonucu 0-10 arasında olan, 1-10 arasındaki sayılarla toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek
6. Toplama işleminin hangi durumlarda, çıkarma işleminin hangi durumlarda yapıldığını anlamak
7. 0'ın toplama ve çıkarmada etkisiz eleman olduğunu öğrenmek (etkisiz eleman terimini kullanmadan)
8. İki sayının toplanmasında, hangi sayının üstüne diğerinin sayılmasının önemli olmadığını, sonucun aynı olduğunu görmek (işte bu madde "kedinin fareyle oynadığı gibi sayılarla oynama"nın ilk adımı).

Bir dahaki yazıda, tek mi çift mi oynayacağız. Deste nedir, düzine nedir, onu göreceğiz. Yani 11 ve 12 sayıları da gelecek. Toplama ve çıkarma işlemlerini birlikte kullanacağız. Ondan sonraki yazıda da çarpma ve bölme işlemlerini anlatacağız. 12'yi aşmadan tabii ki...

Kalın sağlıcakla...

Matematik: Sayılar

Sayıları Öğrenmeden Önce

Matemetiğin ilk konusu sayılardır. Sayılar, matematik dilinin önemli bir parçasıdır. Matematikten zevk almayanlar, genelde şöyle söylerler: ben o kadar çok şeyi ezberleyemem. Hayatta ezber gerektirmeyen hiçbir öğrenme konusu yoktur. Beynimiz otomatik ezberleme makinesidir, ezberlediğinizi fark etmezsiniz bile. Masanın masa olduğunu, sandalyenin sandalye olduğunu nasıl ezberlediğinizi hatırlıyor musunuz? Hayır. Okumak fiilinin anlamını nasıl öğrendiğinizi hatırlıyor musunuz? Yine hayır. 1'in bir olduğunu, 2'nin iki olduğunu ezberlemek neden zor olsun ki? 5 yaşında konuşan bir çocuk, cümle kurarken özne tümleç yüklem sırasını zaten içsel olarak fark etmiştir. Grameri de otomatikman öğrenmiştir, sadece gramerle ilgili terimlerin neler olduğunu bilmez. Ama işler yazılı dile geçince değişir. Çünkü bazı kurallar vardır. Daha önce yanlış öğrendiğiniz kelimelerin doğru yazılışlarını görünce, dilinizi düzeltmeye başlarsınız. Dahi anlamına gelip ayrı yazılan de'ler hayatınıza girer mesela. Başta bunları ezberlemeye "çalışırsınız." Sonraları kompozisyon yazdıkça, bu kuralları tekrar ede ede ezberlemiş, daha doğrusu artık öğrenmiş olursunuz. Sizin için sıradanlaşır bu.

Matematikte de bu böyledir. Tekrar ede ede ezberlersiniz. Mavi top'taki mavi sıfatının rengini nasıl ezberleyerek öğrendiyseniz, 6 adet top'taki 6 adet ifadesini de bir sıfat gibi ezberleyerek öğrenirsiniz. Buradan sakın matematik ezberlenerek öğrenilir gibi bir sonuç çıkarmayın. Matematik konularını öğrenirken, neden sonuç ilişkilerine ve mantığına bakın, öğrenmeniz daha kolay olur. Matematik belki de en az ezber gerektiren şeylerden biridir. Alfabetik sıra diye bir şey var, değil mi? A ile başlayıp Z ile biten. Türkçe dilinde 29 harf var, öyle değil mi? Bunların sırasını nasıl ezberlediniz peki? Zor olmadı mı? Matematikte ezberlemeniz gereken sayılar ve sıraları da bundan çok farklı değil. 

İlk insanlar, muhtemelen sayı yokken, çentik ata ata gidiyorlar, sayıların büyüklüklerine çentikleri birbirleriyle eşleştirip, fazladan kalan çentikleri görerek karar veriyorlardı. Sonradan bu büyüklüklere, çokluklara ad vermeleri gerekmiş olmalı. Mesela tarıma ilk başladıklarında mahsülün yeterli olup olmadığına nasıl karar vermişlerdir ki? Ne büyüklükteki bir tarlayı ekmeleri lazım ki kabilenin karnı doysun? Nüfus sayımı için de ayrı bir yere çentik atmış olmalılar. Fazlasını ekerlerse bir süre sonra bozulduğunu da fark etmiş olmalılar. O zaman gereksiz yere yorulmuş olurlar. Merak ettim şimdi. Matematiğin tarihiyle ilgili bir kitap okumalıyım bu konuda. 

Neyse, biz günümüze dönelim. Bizler daha şanslıyız ki, matematiğin dili ve yöntemleri kuşaktan kuşağa gelişmiş ve bugünkü haline gelmiş. Artık daha kolay iletişim kurabiliyoruz, problemlerimizi daha kolay çözebiliyoruz. Şimdi ilk konumuz olan sayıları öğrenmeye başlayalım.

Sayılar ve Sayma (Yeni öğrenenler için 1-10 arası)

Bildiğiniz gibi, okul öncesi çağındaki çocuklar için, sayıları aşağıdaki gibi öğretmeye başlarız:

Bilindiği gibi 1: bir, 2: iki, 3: üç, 4: dört, 5: beş, 6: altı, 7: yedi, 8: sekiz, 9: dokuz, 10: on diye okunur.

Malum, bunu parmaklarla da gösteririz. Tabii ki bu sayıları bir seferde öğretmemize gerek yoktur. Önce bir, iki ve üçü öğretebiliriz mesela. Sonra dört, beş ve altıyı öğretebiliriz. Sonra ikisini birleştirir, birden altıya kadar saydırırız. Son olarak da yedi, sekiz, dokuz ve onu öğretiriz. Sonra dörtten ona kadar saydırırız. Son olarak da birden ona kadar hepsini birleştiririz.

Adım atarak da saydırabiliriz örneğin, merdivenleri çıkarken, "bakalım kaç basamak varmış?" diye sorup "hadi birlikte sayalım" deyip sayabiliriz. Evin içinde de "bakalım koridorun başından sonuna kaç adımda gidebileceksin (varabileceksin)?" diye sorup çocuğumuz adım attıkça birlikte sayabiliriz. "Bakalım ben kaç adımda varabileceğim?" diye sorup, aynı koridoru yürüdükçe yine sayabiliriz. Böylece çocuğumuz, herkesin adımlarının farklı olduğunu görecektir. Yan yana bir adım atıp, "bak, benim adımım seninkinden daha büyük, onun için her adımda senden daha uzağa gidebiliyorum, bu yüzden aynı mesafeyi senden daha az sayıda adım atarak gidebiliyorum." diyerek açıklamak gerekir. Şimdilik çocuk bölme işlemini öğrenmemiş olsa da, bölme terimini duymamış olsa da, mantığını şimdiden yavaş yavaş aklının bir köşesine farkında olmadan yerleştirecektir.

İlk 10 sayıyı öğrendiğinden emin olduktan sonra, oyun gibi önce bunları geriye doğru, yani tersinden saymayı da öğretebiliriz. Bunu da şu şekilde öğretebiliriz: Koridorun sonundan başına geri geri adım attırarak saydırabiliriz. Böylece, çıkarma işlemini bilmese de, geriye doğru saymanın, ileriye doğru saymadan farklı olarak ters yöne doğru giden bir işlem olduğunu aklına yerleştirmiş olur.

Abaküsün ne olduğunu hepimiz biliriz, öyle değil mi? 1'den 10'a kadar saymayı abaküsle de gösterebiliriz. Boncukları 5'er 5'er gruplayıp ilk 5'inin rengi ikinci 5'liden farklı olan abaküsleri seçmenizi tavsiye ederim. Böylece ilk 5'i birinci eli, ikinci 5'i ikinci eli sembolize eder ve örneğin 5 ile 6'yı birbirinden bir görüşte ayırt etmesi daha kolay olur. Abaküs'ün en üstteki satırını göstermek yeterli olacaktır. Bildiğiniz gibi abaküs, en eski hesap makinesidir. Abaküs üzerinde hem ileri doğru, hem de geriye doğru saymayı gösterebiliriz.


Bundan sonra da sayıları elimizle ya da abaküste karışık olarak gösterip, "bu kaç?" diye sorabilir, bir sayfada kelebek, uğur böceği, yonca gibi şekillerden karışık bir şekilde çizip, kaç tane kelebek var, kaç tane uğur böceği var, kaç tane yonca var? diye sorabiliriz.

"İçimden bir sayı tutacağım. Sen önce bir tahminde bulunacaksın. Sana "in" dersem, daha küçük (yani daha önce gelen) sayılardan birini söyleyeceksin, "çık" dersem, daha büyük, yani daha sonra gelen sayılardan birini söyleyeceksin. Bilirsen, "bildin" diyeceğim. En fazla 4 tahminde bakalım bulabilecek misin? 4 tahminde bulamazsan, 5. tahminde ben sana ipucu vermeden bulmaya çalış." Çocuk bulana kadar oyunu tekrar tekrar oynayabiliriz.

1-10 arası sayılar niçin önemlidir? Çünkü bildiğiniz gibi, çocuğunuz henüz bilmese de sayı sistemimiz 10'luk bir sistemdir. Bu arada çocuğumuza 0 (sıfır)ı da öğretmeliyiz. İçinde kelebek, uğur böceği ve yonca resimleri olan sayfada, içinde hiç kalem resmi olmayan bu sayfayı tekrar gösterip, bu sayfada kaç tane kalem var? diye sorduğumuzda, "bu sayfada kalem yok ki" cevabını alırız. Bunun üzerine "iyi bak, hiç mi yok?" diye tekrar sorduğumuzda "hiç yok, beni kandırmaya çalışma" gibi bir cevap gelecektir. O zaman deriz ki, "matematikte 0 sıfır diye bir sayı vardır. İşte bu sayının anlamı, "yok" demektir, "hiç" demektir, "elimizde kalmadı" demektir." diye açıklarız. 10 on sayısının neden 1 ve 0 sayılarının yan yana yazılmasından oluştuğunu, sana ileride anlatacağım, ama şimdilik bunun böyle yazıldığını bilmen yeterli, deyip, toplama ve çıkarma işlemlerini anlatmaya geçebilir, bu işlemleri, sonucu 10'dan büyük ve negatif olmayacak şekilde ayarlayarak sorabiliriz. Bu kısmı bir sonraki yazımda anlatacağım.

Bir Sonraki Yazıdaki İşlemleri Yaptırdıktan Sonra 

Daha büyük sayılara geçerken de 8+7=? diye bir soru sorup, çocuğumuz bilmediğini söylediğinde, "bu yüzden insanlar, büyük sayıları saymayı kolaylaştırmak için sayıları 10'ar 10'ar gruplandırıp, kaç tane 10'luk grup varsa önce o sayıyı yazmışlar, sonra da kalan 10'dan küçük sayıyı da yanına yazmışlardır. Şimdi yukarıdaki işlemi abaküsten yapalım. Önce sekiz tane boncuğu birer birer sağa doğru itelim. Şimdi yedi boncuğu sayarken, kaldığımız yerden bir iki diye sayarak devam edelim. İlk sıradaki boncuklar bitince, ikinci sıradaki boncuklardan birini sağa itip, ilk sıradaki boncukların tamamını başa alıp, ilk sıradaki boncukları sağa doğru iterek yediye kadar saymaya devam edelim. Böylece göreceğiz ki, ilk sırada 5 boncuk, ikinci sırada ise 1 boncuk sağa kaymış olacak. Böylece kaç tane 10'luk saymış olduğumuzu ikinci sıradaki boncuk sayısı gösterdiğinden, 1'i önce yazacağız, yanına da 5'i yazacağız" diyerek anlatabiliriz. Tahmin edeceğiniz gibi, abaküsümüzün ilk sırası birler basamağını, ikinci sırası ise onlar basamağını gösteriyor olacaktır.

Bunları Unutmayın

Bu arada, her çocuğun gelişme ve öğrenme hızı farklı olacaktır. Siz yeterince tekrar yaptığınızdan emin olun ve çocuk bir aşamayı öğrenmeden ikinci aşamaya geçmeyin yeter. Çocuğunuzun öğrenme hızına saygı duyun. Ona sabırla ve sevgiyle yaklaşın. Eğer bir süre sonra ikinizden biri yorulmuşsa, öğrenme ve öğretme sabrınız kalmamışsa, ara verin. Gerekirse o gün tamamen ara verip ertesi gün devam edin. Çocuğunuza yüksek hedefler koyarak onu zorlamayın. Bıkıp usanmadan tekrar yapmaya özendirin. Bu öğrenmesi gereken herşey için geçerli. Çocukken fiyonk yapmayı öğrenene kadar kaç kere tekrar denediniz ve öğrendikten sonra da hatırınızda kalması için kaç kere tekrar fiyonk yaptınız kim bilir. Bu da onun gibi bir şey. Çocuğunuza da öğrenmenin güzel bir şey olduğunu ve sabır istediğini bu tür örneklerle anlatabilirsiniz.

Matematik Nedir?

Bu blog yazarına göre matematik, somut varlıkları ve soyut olguları tanımak, tanımlamak, gerçeklikleri keşfetmek ve problem çözmek amacıyla ölçme, sayma, karşılaştırma, işlem yapma, mantık (akıl) yürütme, analiz etme ve problem çözme bilimidir. Burada problemden kasıt, merak edilen herhangi bir şey olabilir. Bir bireyin (şahsın, kişinin) bilmediği her şey o kişi için merak konusu olabilir. Merak ettiği şeyi açıklığa kavuşturabilmek için kullandığı bilim dallarından biri, hatta en temeli matematiktir. Matematik aynı zamanda bilim dilidir. Matematiğin dilimize kattığı unsurlar, rakamlar ve işlem işaretleri ya da bir işlemi ifade eden kısaltmalarıdır. Örneğin; 0,1,2,3,...,9, +,-, *,/  gibi.

Örnek matematiksel rakam ve semboller

Yukarıdaki tanıma açıklık getirmek için, örnekler verelim. Somut varlıkları tanımak istersek, önce şekline bakarız. Bir cismin küre, silindir, prizma, piramit ya da bunların bazı kısımlarının karışımından oluşan karmaşık bir şekli olabilir. Sonra bu şeklin boyutlarını, kenarlarının birbirleriyle yaptığı açıları, yuvarlak kısımların yarıçaplarını ve kıvrım derecelerini ölçeriz. Son olarak da bu verilere dayanarak ve orijinal şekline bakarak orantılı bir şekilde resmini çizeriz. Buna o cismin teknik resmi denir. Örneğin; benim bu blogu yazarken kullandığım bilgisayarın bir teknik resmi çizilebilir ya da fotoğrafını çekip, fotoğraf üzerinde boyutlarını işaretleyerek ölçtüğümüz değerleri gösterebiliriz. Çeşitli yerlerine işaretler koyup ölçüleri hakkında açıklama yazabiliriz. Günlük hayatta kullandığımız bu somut varlıklar, yani eşyalarımız, tasarımcıları tarafından üretilmeden önce yoklardı. Tasarımcılar, önce hayallerinde ve başka eşyaları deneme yanılma yoluyla birleştirerek ya da şeklini değiştirerek oluşturdukları bu yeni eşyaları başka insanlara anlatabilmek için, teknik resmini çizerek göstermek zorundadırlar. Böylece, tasarımcının hayalindeki şeklin neye benzediği daha üretilmeden diğer insanlarca anlaşılabilir. Başka bir ifade ile tasarımcı ile üretimci arasındaki iletişim problemi, bu teknik resimler sayesinde çözülmüş olur. Bu da işin problem çözme kısmına bir örnek teşkil eder. Bu örneğimizde problem: kavramların yetersiz kalması ve fotoğrafı çekilecek bir nesne olmaması nedeniyle iletişim kuramamak, çözüm: matematiksel kavramlar, ölçme, sayma, vb. sayesinde teknik resmini çizerek ve boyutları göstererek iletişim kurabilmek. 

Karmaşık şekilli cisim örneği

Şimdi size merak ettiğiniz, ama bilmediğiniz konulara, yani problemlere örnek vermek istiyorum. Diyelim ki yeni bir eve taşınacaksınız. Mevcut evinizdeki eşyaların yeni eve sığıp sığmayacağını, boş alanlar kalıp kalmayacağını ve hangi eşyalarınızı, halılarınızı ve perdelerinizi hangi odaya taşımanız halinde hem gözünüze güzel ve uyumlu görüneceğini, hem de en çok eşyayı sığdırabilmek için nasıl bir yerleşimi tercih etmeniz gerektiğini merak ediyorsunuz. İşte yine yeni evin boyutlarını ölçeceksiniz. Eşyalarınızın boyutlarını ölçeceksiniz. Bazı odalar daha küçük, bazıları ise daha büyük gelecek. Perdeleriniz için de benzer ölçümleri yapacaksınız. Yeni bir düzenleme yapmanız gerekecek. Bunun için bilgisayardaki çeşitli uygulamalar yardımıyla kroki çizeceksiniz. Bilgisayarın arka plandaki programı neye göre çalışacak? Programcının önceden kodladığı matematiksel problem çözme yeteneğine göre elbette. 

Ev planı örneği

Renklerin bile matematiksel olarak ifade edilebildiklerini biliyor musunuz? İçindeki mavi, sarı ve kırmızı boyaların kullanım miktarlarına göre renk tonlarının kodları vardır. Yani koltuk kılıflarınızın rengini değiştirmek için sipariş verirken de farkında olmadan bu kodlardan yararlanıyorsunuz. Farkında olmadan diyorum, çünkü siz, size gösterilen kumaşlar arasından tercih yapıyorsunuz. Diyelim ki hiçbir rengi beğenmediniz, o zaman beğendiğiniz rengi sizin kodlamanız lâzım. Işıkların renk karışımında ise bu renkler kırmızı ışık, yeşil ışık ve mavi ışık karışımı olarak kodlanıyor. Web sitelerinin arka plan rengini belirlerken de bu kodlardan yararlanıyorsunuz. Bütün bu merakınızı gidermek ve problemlerinizi çözmek için matematikten yararlanıyorsunuz.

Örnek renk kodları

Saymaya dayalı daha basit örnekler verelim: Bir ürün satın alırken, banka hesabınızdaki paraya ve ürünün fiyatına bakıyorsunuz. Hangi ürünlerden alacağınıza, paranızın hangilerine yeteceğine yine matematik yardımıyla karar veriyorsunuz.

Bakkal problemi örneği

Astronomlar gözlemledikleri yıldızların büyüklüğüne ve uzaklığına, kullandıkları teleskopların ışığı yansıtma prensiplerine ve teleskoptan görünen büyüklüğüne bakarak hesaplayıp karar veriyorlar. 

https://goo.gl/hHQYrV ileri matematik gerektiren bu videoyu izlediğinizde, yıldızların uzaklığının nasıl ölçüldüğünü görebilirsiniz. 

Bunun daha basit şekli, büyük bir otomobilin maket oyuncağını yapmak ya da daha küçük bir alanda sergilemek için bir maketini yapmak istediğinizde kullandığınız ölçekler, size ürünün boyutları arasındaki ilişkiyi bozmadan otomobili küçültmenizde yardımcı oluyor.

Model oyuncak örneği:
Gerçeğine birebir benzemesinin nedeni, bütün boyutlarının aynı oranda küçültülmesidir.

Örnekler saymakla bitmez. Her meslekte, hatta hayatınızı devam ettirmek için günlük hayatta diğer insanlarla olan ilişkilerinizde, az ya da çok, temel ya da ileri düzeyde matematik konuları işe yaramakta. Bu blogda en temel matematik bilgileri yer alacaktır.