Matematik: Tek mi Çift mi, Deste - Düzine, Toplama Çıkarma Hepsi Bir Arada

Bu yazımızda, daha önceki yazılarımızın bir devamı niteliğinde olarak, önce tek-çift kavramını öğreteceğiz, sonra 0-10 arasında olan sayı dünyamızı 0-12'ye genişleterek deste ve düzine kavramlarını öğreteceğiz. Daha sonrasında da toplama ve çıkarma işlemlerini tek seferde yapmayı öğreteceğiz. Çocuğunuzun yaşına bağlı olarak, toplama ve çıkarma işlemlerini tek seferde yapma kısmını daha sonraya da bırakabilirsiniz. Ama ileride 4 işlemi öğrendiğinde, işlem sırasını kavrayabilmesi için, bu aşamanın anlatılmasını önemli görüyorum. Bu yazıya başlamadan önce, bir önceki yazıda verdiğim toplama ve çıkarma örneklerine ilave olarak, ileriye doğru adım atma ve geriye doğru adım atma şeklinde de ileriye doğru yürürken toplama, geriye doğru yürürken çıkarma işlemlerini de yaptırabileceğinizi hatırlatmak isterim. Şimdi, tek-çift kavramlarıyla devam edelim.

Tek mi Çift mi?

Şimdi, kullandığımız malzemeden (örneğin sayma çubuğu) 10 tane alarak, çocuğumuza tek-çift kavramlarını öğretmek için gerekli hazırlığı yapmış oluyoruz. "Bazen, iki kişinin birlikte oynaması, ya da birlikte çalışması gerekebilir. Bazen de, kalabalık oynanan bazı oyunlarda veya takım sporlarında maçlar ya da yarışmalar iki ayrı gruba ayrılarak oynanır. Her iki takımın da birbirine eşit sayıda kişiden oluşması gereken bu gibi durumlarda, çift sayıda insana ihtiyaç duyulur. Eğer bir grup insan, ikişerli gruplara ayrıldığında 1 kişi açıkta kalıyorsa, ya da yine bir grup insan, iki ayrı takıma ayrıldığında, takımlardan birinde 1 kişi fazla kalıyorsa ve o kişi bu yüzden oyun dışında kalıyorsa, bu durumda o grupta tek sayıda insan var demektir. Eğer kimse oyun dışında kalmıyorsa, çift sayıda insan var demektir. Şimdi böyle anlatınca karışık geldiğini biliyorum. Hadi şimdi çubuklarla göstereyim sana... Sayalım şimdi kaç çubuk var burada?" dedikten sonra 10 çubuğu birlikte sayıyoruz. Sonra, "bu çubukları hadi şimdi ikişer ikişer gruplayalım", dedikten sonra, iki taneyi birleştirip bir grup, sonraki iki taneyi birleştirip ikinci grubu yapıyoruz. Böyle böyle 5 grubu tamamladıktan sonra, diyoruz ki, "ikişer ikişer grupladık ve gördük ki, hiç bir çubuk açıkta kalmadı. Demek ki 10, çift sayıymış." diyoruz. "Bunu başka türlü nasıl anlayabilirdik? Her çubuk 1 kişiyi temsil etsin. Şimdi 10 kişiden 2 ayrı takım kurmaya çalışalım." diyerek, tekrar 10 çubuğu elimize alıyoruz. "Sırayla, bir çubuk sağa, bir çubuk sola koyalım" dedikten sonra, bir çubuk sağa, bir çubuk sola koymaya devam ediyoruz. Çubuklar bitince, "Şimdi ben sağdaki çubukları sayayım, 1-2-3-4-5. Sen de soldaki çubukları say bakalım." diyoruz. O da saymayı bitirince, "Bak gördün mü, benim saydığım takımda da 5 kişi oldu, senin saydığın takımda da 5 kişi var. Yani birbirine eşit sayıda var. Demek ki, 10 kişiden 5'er kişilik iki ayrı takım kurulabiliyormuş. Bu da demektir ki, 10 çift sayıdır."

Başka hangi sayılar çifttir? Bunu görmek için, "her iki gruptan da 1'er kişiyi çıkarırsak, sağda 4, solda da 4 kişi kalır, değil mi? Yani, 10 kişiden 2 kişi çıkardık. Kaç kişi kaldı? 8 kişi kaldı, değil mi? O zaman 8 de çifttir. Diğer çift sayıları da sen bul." Diyerek, 6, 4, 2'nin de çift sayı olduğunu öğretmiş oluruz. Benzer şekilde, "8'i 2'şer 2'şer gruplara ayıralım, bakalım kaç gruba ayıracağız?" deyip 4 tane 2'şerli gruplara ayrıldığını gösterebiliriz.

"Peki, 10 hatırlarsan çift sayıydı. 10'dan 1 çıkarırsak, kaç kalır? 9 değil mi? 9 çift sayı değildir, çünkü bak, sağdaki grupta 5 çubuk, soldaki grupta 4 çubuk var. Birbirine eşit değil. 9 kişiyle takım oyunu oynarsak, 1 kişi oyun dışında kalır. Yani 8 kişi oyunu oynar, kalan 1 kişi oynayamaz. İstersek kalan 1 kişiyi hakem yapabiliriz, ne dersin?" diyerek, "Tek sayılar, bizim 1 hakemli oyunumuz olsun, çift sayılar da hakemsiz oyunumuz olsun, tamam mı?" diye açıklama yapabiliriz. "Hakem kimdir? Oyunda eğer iki takımdan hangisinin galip geldiğiyle ilgili tartışma çıkarsa, hakem tarafsız olarak oyunun baştan kararlaştırılmış kurallarına uygun olarak kimin galip geldiğine karar veren kişidir. Ayrıca takımlardan biri kural ihlali yani hile yaptığında bunu tespit ederek oyunun kurallara uygun bir şekilde oynanmasını sağlayan kişidir" diye açıklama yapabiliriz.

Böylece, sırasıyla 9, 7, 5, 3 ve 1'in tek sayılar olduğunu teker teker gördükten sonra, hepsini yeniden gözden geçiririz:

"1: tek, 2: çift, 3: tek, 4: çift, 5: tek, 6: çift, 7: tek, 8: çift, 9: tek, 10: çift. Gördün mü, sayılar bir tek, bir çift, bir tek, bir çift şeklinde devam ediyor." diye de açıklama yaparız. "Öyleyse, 0 (sıfır) sayısı, tek midir, çift midir? 0 (sıfır), elimde hiç yok demekti, değil mi? Sıfır, birden de küçüktür. 1 tek olduğuna göre, 0 (sıfır) çifttir. Şöyle de düşünebiliriz: 10 (on) sayısının en sağında sıfır (0) yazıyor değil mi? 10 çift olduğuna göre, sağında yazan 0 (sıfır) da çifttir. Matematikçiler, bu nedenle sıfır (0)'ın çift olduğunu kabul ederler."

11 ve 12 Sayıları, Deste ve Düzine

"Şimdiye kadar sana 1'den 10'a kadar sayıları öğretmiştim. Şimdi iki tane sayı daha öğreteceğim. 10 (on)'dan sonra 11 (on bir) gelir, 11 (on bir)'den sonra da 12 (on iki) gelir. Nasıl ki bir, iki, üç diye saymaya başlamıştık, bundan sonra da başına on sayısını ekleyerek on bir, on iki diye on dokuza kadar devam ediyoruz. Ama şimdilik 12 (on iki)'de duralım. Çünkü sana 12'ye kadar yeni bazı konuları anlatmak istiyorum."  diyerek, konuya giriş yapabiliriz.

"Ama yeni konuya geçmeden önce, 10 çift bir sayıydı, 11 (on bir), tek midir, çift midir? 11 ile hakemli bir oyun oynayabiliriz, o halde tek sayıdır. 12 (on iki), tek midir, çift midir bir bakalım. 6 çubuk sağda, 6 çubuk solda, hakemsiz bir oyun oynanabilir, o halde 12 çift bir sayıdır." diye açıklama yapabiliriz.

10 (on) sayısına, aynı zamanda, "1 deste" de denilebilir. Yani, birisi size derse ki, "Arkadaşıma bir deste papatya verdim." bu demektir ki, arkadaşına 10 tane papatya vermiş. İleride, daha büyük sayıları öğrenirken, destelerden de yararlanacağız. İki deste, üç deste ne demek, bunları öğreneceğiz. 

12 (on iki) sayısına, aynı zamanda "1 düzine" de denilebilir. Yani, birisi size derse ki "Arkadaşıma bir düzine papatya verdim." bu demektir ki, arkadaşına 12 tane papatya vermiş. İleride, çarpma ve bölme işlemlerini öğrenirken de bu 12 sayısından yararlanacağız. Ayrıca saatte 12 (on iki)'ye kadar sayılar vardır. Saati okumayı öğrenirken de, on iki sayısının ne kadar önemli olduğunu göreceğiz.

Bundan sonra, büyük miktarlarda (100'den az olmak kaydıyla) rastgele sayıda sayma çubuğu alarak, "Şimdi elimizde bir sürü sayma çubuğu var, kaç tane olduğunu ben de bilmiyorum. Hadi bakalım bunlardan desteler oluşturalım, kaç tane deste yapabileceğiz" deyip, "Bir destede kaç tane çubuk olacak, 10 tane değil mi? önce 10 taneyi buraya koyalım." diyerek beraber 10 taneyi sayalım. "Böylece 1 deste yaptık, ama hala elimizde bir sürü çubuk var, geri kalanlardan bir deste daha yapıp, şuraya koyalım."  diyerek ilk desteden biraz uzak bir yere yine 10 taneyi sayarak koyalım. Diyelim ki elimizde rastgele 56 tane sayma çubuğu varmış. Böyle böyle 5 kere aynı işlemi yapmış olduk. Elimizde 6 çubuk kaldı diyelim. "Elimizde az miktarda çubuk kaldı, bakalım 10 tane daha çıkacak mı, hadi sayalım" diyelim. 1-2-3-4-5-6 bitti, demek ki bu son gruptan deste yapamadık. Önceki destelerin sayısına bakalım, kaç tane deste yapmışız, yani kaç tane grup yapmışız, bir sayalım. 1 tane destemiz burada, 2-3-4-5. Demek ki elimizdeki çubuklardan 5 tam deste çıkmış. Geriye de 6 tane çubuk kalmış. Tane dediğimizde 1'er 1'er saymış olduk, deste dediğimizde 10'ar 10'ar grupların her birini sayarak kaç deste olduğunu bulmuş olduk. 5 deste dediğimiz zaman, 5 tane 10'luk grup varmış, bunu görmüş olduk. 5 tane mi daha çok, 5 deste mi daha çok, tabii ki 5 deste daha çok, değil mi?" 

"Şimdi aynı çubuklarla, düzine yapmaya çalışalım. Bir deste 10 taneydi, ama bir düzine 12 tane, değil mi? En baştaki desteye gelelim, elimizde kalan 6 çubuktan 2 tanesini birinci gruba ekleyelim, 11-12, burası 1 düzine oldu. Elimizde kaç çubuk kaldı? 4 çubuk kaldı, değil mi? Şimdi diğer desteye 2 çubuk daha ekleyelim, 11-12. Şimdi burası da başka bir düzine oldu. Şimdiye kadar 2 düzine yaptık. Şimdi öteki desteye gidelim. Elimizde 2 çubuk kalmıştı. Bu çubukları da bu düzineye ekleyelim. 11-12. Burası da bir düzine oldu. 3 düzine yaptık. Şimdi üç düzine, iki de destemiz var, değil mi? Destelerden birini elimize alalım. Şimdi bu desteyi bozalım. İki tane çubuğu, diğer desteye ekleyelim, 11-12. Burası da bir başka düzine oldu. Böylece, 4 tane düzine yapmış olduk. Elimizde kaç çubuk kaldı? 8 çubuk kaldı. Bak, aynı çubuklarla, daha önce 5 tam deste yapmıştık, şimdi 4 tam düzine yaptık. 5 tam deste yapınca, elimizde 6 çubuk kalmıştı, şimdi 4 tam düzine yapınca, elimizde 8 çubuk kaldı, değil mi? Demek ki bu çubuklarla ya 5 tam deste, ya da 4 tam düzine yapılabiliyormuş, gerisi de fazladan elimizde kalıyormuş." diye bir oyun oynayabiliriz.

Farkındaysanız, henüz büyük sayıları öğretmiyoruz, sadece gruplamayı ve grupları saymayı öğretiyoruz. Bu konuda çocuğumuzun önceki konulara göre ilave kazanımları:

1) Tek ve çift kavramını öğrenmek, 0-12 arasındaki sayıların hangisinin tek, hangisinin çift olduğunu bulabilmek.

2) Deste ve düzine kavramlarını açıklayabilmek.

3) 100'e kadar nesneleri, destelere ayırıp kaç tam deste olduğunu bulabilmek.

4) 100'e kadar nesneleri, düzinelere ayırıp kaç tam düzine olduğunu bulabilmek.

5) Gruplama ve gruplara ayırma kavramını anlayabilmek, gruplandırabilmek ve grup adedini sayabilmek. Bu konuda gruplamaları sadece deste ve düzine üzerinden yapabiliyoruz. Ayrıca ikişerli gruplamayı da öğrenmiş oluyoruz.

6) Toplama ve çıkarma işlemleri dışında çarpma ve bölme adında işlemlerin de olduğunu fark etmek. 

7) Saatte 1'den 12'ye kadar sayılar olduğunu ve saati okurken bu sayıların kullanılacağını fark etmek.

Farkındaysanız, henüz 0-12 arasında geziniyoruz ve büyük sayıları oluşturmanın sistematiğini öğretmedik. Buna karşılık 0-12 arasında sayma, büyük-küçük kavramları, ileriye-geriye gitme, toplama-çıkarma, tek-çift, deste-düzine, eşit sayılarda nesnelerden oluşan gruplara ayırma ve grupları sayma (kaç deste, kaç düzine) gibi işlemler yaptırdık sadece... Ve bunları oyunlarla pekiştiriyoruz. Eğer çocuğumuz henüz okuma-yazma bilmiyorsa, sesli ve görsel olarak öğretiyoruz. Bir sonraki aşamada, sayıların yazılışlarını da görsel olarak okumayı öğretip, ayrıca ince motor becerilerini geliştirmek için, eline kalemi alarak sayıları yazmayı da öğretebiliriz.

Bu arada, unutmadan, çocuğunuz 11 ve 12 sayılarını da öğrendiğine göre, önceki toplama işlemlerine ilave olarak 10+1, 1+10, 9+2, 2+9, 8+3, 3+8, 7+4, 4+7, 6+5, 5+6, 11+1, 1+11, 10+2, 2+10, 9+3, 3+9, 8+4, 4+8, 7+5, 5+7, 6+6 işlemlerini de çubuklarla oynayarak öğretebilirsiniz. Benzer şekilde, çıkarma işlemlerinde de 11'den ve 12'den belli miktarda sayıları çıkarmasını öğretebilirsiniz.

Ayrıca, daha önce 1-10 arasında oynadığınız "in-çık" oyununu 1-12 arasında oynayabilirsiniz.

Toplama Çıkarma Bir Arada

Şimdi sırada, 1-12 arasında toplama-çıkarma işlemlerini bir arada yaptırmaya geldi.

Bu kısmı, "Önce çalışarak 5 Lira kazandım, sonra çalışarak 3 Lira daha kazandım, sonra 4 Liraya bir oyuncak aldım. Sonra, karnım acıktı ve 2 Liraya bir tabak yemek satın alıp karnımı doyurdum. Şimdi birlikte, elimde kaç Lira kaldığına bakalım." diye sorarak yaptırabiliriz. "Önce kazandıklarımızın toplamına bakalım. 5+3=8 Lira kazanmışım. Sonra, 4 Lira harcadığıma göre, param azalmış olmalı. Demek ki çıkarma işlemi yapacağım. deyip, 8-4=4 Lira. Elimde 4 Lira kalmış oldu. Yani, önce param yoktu, çalıştım, 5 Liram oldu, harcama yapmadığım için bu 5 Lirayı biriktirmiş oldum. Sonra biraz daha çalıştım ve 3 Lira daha kazandım. Böylece, elimde 8 Lira olmuş oldu. Sonra, 4 Lirayı oyuncakçıya verip oyuncak satın aldım. Böylece, elimde artık 4 Lira ve bir oyuncak var. Daha önce 8 Liram vardı, ama oyuncağım yoktu. Şimdi 4 Liram kaldı ve bir oyuncağım oldu. Sonra karnım acıktı, 2 Lira daha verdim, demek ki param biraz daha azaldı. Elimde 4 Lira ve bir oyuncak vardı, elimdeki 4 Liradan 2 Lirayı çıkarırsam, 4-2 = 2 Liram kalmış oldu. Böylece, elimde 2 Liraya ilave bir oyuncak var ve artık karnım tok." diye açıklama yapabiliriz.

İşlemlerin tamamını gösterecek olursak: 5+3-4-2=2 Lira diye gösterebiliriz. "Baştaki 8 Lira yerine artık elimde 2 Lira kaldı, ama karşılığında 1 oyuncak ve 1 tabak yemek almış olduk." diye açıklama yapabiliriz.

Aynı işlemi, şöyle de sorabiliriz: "Önce çalışarak 5 Lira kazandım, sonra karnım acıktı ve 2 Liraya bir tabak yemek aldım. Sonra biraz daha çalıştım ve 3 Lira daha kazandım, sonra da 4 Liraya bir oyuncak aldım. Şimdi birlikte, elimde kaç Lira kaldığına bakalım." Şimdi sırasıyla ne olduğuna bakalım: "Önce 5 Lira kazandıktan sonra 2 Lira verip karşılığında yemek aldığıma göre, param azalmış olmalı. Demek ki çıkarma işlemi yapacağız: yemek yedikten sonra elimde, 5-2=3 Liram kaldı. Sonra biraz daha çalışıp 3 Lira daha kazandım. Kazandığıma göre, param artmış olmalı. Böylece, 3+3=6 Liram oldu. Sonra 4 Liraya oyuncak aldığıma göre, param azalmış olmalı. Demek ki çıkarma işlemi yapacağız. 6-4=2 Liram kaldı. Böylece, elimde 2 Liraya ilave hem karnımı doyurmuş, hem de bir oyuncak almış oldum." diye açıklama yapabiliriz.

İşlemlerin tamamını gösterecek olursak: 5-2+3-4=2 Lira diye gösterebiliriz. "Baştaki 5 Lira yerine artık elimde 2 Lira kaldı, ama karşılığında 1 tabak yemek almış, çalışarak biraz daha para kazanmış ve 1 oyuncak almış olduk." diye açıklama yapabiliriz.

Her iki problemde de, "toplam kaç Lira kazandık? 5+3=8 Lira kazandık. Toplam kaç Lira harcadık? 4+2=6 Lira harcadık." diye açıklama yapabiliriz.

Benzer problemi, "Önce 5 adım ileri gidelim. Sonra 4 adım geriye gidelim. Sonra 3 adım ileriye gidelim, sonra da 2 adım geriye gidelim. Başlangıçtaki noktamıza göre kaç adım ileride oluruz?" diye de sorabiliriz. Bunu "Kızma Birader" benzeri bir oyun tahtası üzerinde de gösterebiliriz. 5-4=1 adım ilerideyiz. 1+3=4 adım ilerideyiz. 4-2=2 adım ilerideyiz. 5-4+3-2=2 adım." şeklinde de yaptırabiliriz.

1-12 arasındaki sayıların dışına çıkmamak kaydıyla, toplama ve çıkarmayı değişik sayılarla bu şekilde yaptırabiliriz.

Böylece sekizinci ve dokuzuncu kazanımlar olarak:

8) Aynı problem içerisinde birden fazla toplama ve çıkarma işlemini karışık olarak yapabilmek

9) Toplumsal düzende paranın bir değiş-tokuş aracı olduğunu kavrayabilmek

sayılabilir.

Bundan sonra 1-12 arasındaki sayılarla çarpma ve bölme işlemlerini öğreteceğiz.